睦月（むつき）は和風月名の一つです。
睦月は何月？、その由来について5つの説を紹介します。
何月？
睦月は旧暦（太陰太陽暦）の1月のことを言います。
現在の新暦に置き換えると、1月下旬〜3月上旬ごろ。
旧暦と新暦では1ヶ月ほどのずれがありますが、現在では「1月の別名」としても使われています。
由来
睦月の由来は諸説あります。
睦び月（むつびつき）
お正月に家族や親戚が集まり、仲良く親しみ睦み合う月であることから「睦び月（むつびつき）」となり、それが省略され「睦月（むつき）」となったという説があります。
※睦ぶというのは、仲良くするという意味
文献では「奥義抄」、「和爾雅（わじが）」などに記載されています。
最も多くの文献で記載されていることから「睦び月」が有力となっています。
実月（むつき）
稲の実が初めて水に浸す月という意味の「実月（むつき）」が転じて、「睦月（むつき）」となったという説があります。
文献では「大言海」に載っています。
生月（うむつき）
新しく生まれる月という意味の「生月（うむつき）」が転じて、「睦月（むつき）」となったという説があります。
江戸時代の国語辞典「俚言集覧（りげんしゅうらん）」に記載されています。
孟月（もうげつ・もうつき）
四季の初めの月である「孟月（もうげつ）」が「もうつき」に転じて、「睦月（むつき）」となったという説があります。
※孟（もう）とは初めという意味
文献では「和語私臆鈔」に記載されています。
蒸し月（むしつき）
陽気が地中から蒸す月という意味の「蒸し月（むしつき）」が転じて、「睦月（むつき）」となったという説があります。
※陽気とは春のように暖かい気候のこと
文献では江戸時代の方言語彙をまとめた「菊池俗言考」に記載されています。
以上5つの説を紹介しました。
最も多くの文献や辞典に記載されている「睦月（むつき）」が最も有力です。
この時期はお正月の行事やお祝いごと、人日の節句（七草粥）、鏡開きなどの季節になります。
詳しくは「1月の年中行事」にまとめているので見て下さい。